题目内容
6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F（c，0）．（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=-2交于点B，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，判断并证明直线l与椭圆有多少个交点．
分析 （1）由2a=4，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得a和c的值，由椭圆的性质可知b2=a2-c2=1，即可求得b，求得椭圆C的方程；
（2）设直线方程，求得A和B坐标，由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，根据向量的坐标表示，求得b2=1+4k2，将直线代入椭圆方程，由△=0，直线l与椭圆有1个交点．
解答 解：（1）由题意可知：2a=4，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
b2=a2-c2，b=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）显然，直线l的斜率存在，设直线方程为l：y=kx+b，
则：A（2，2k+b），B（-2，-2k+b），
由$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，可知：（2-$\sqrt{3}$，2k+b）•（-2-$\sqrt{3}$，-2k+b）=-1-4k2+b2=0，
即b2=1+4k2，
将直线l：y=kx+b与椭圆联立，x2+4（kx+b）2=4，
∴（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
△=64k2b2-4（1+4k2）（4b2-4）
=64k2（1+4k2）-4（1+4k2）（4+16k2-4）=0，
所以直线和椭圆恰有一个交点．
点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．
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