Question

15．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x₁，y₁），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转$\frac{π}{2}$后与单位圆交于点Q（x₂，y₂）．记f（α）=y₁+y₂．
（1）求函数f（α）的值域；
（2）若f（C）=$\sqrt{2}$，求∠C．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；
（2）若f（C）=$\sqrt{2}$，则f（C）═$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）=，即可得到结论．

解答 解：（1）由三角函数定义知，y₁=sinα，y₂=sin（α+$\frac{π}{2}$）=cosα，
f（α）=y₁+y₂=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵角α为锐角，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴＜sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
则f（α）的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]；
（Ⅱ）若f（C）=$\sqrt{2}$，则f（C）═$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
即sin（C+$\frac{π}{4}$）=1，
则C=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义以及三角恒等变换的运用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．