Question

已知函数f（x）=

xln(x-1)

x-2

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²+2x+3，证明：对任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），总存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）首先，利用导数，求函数的导数，然后，判断函数的单调性进行求解，
（Ⅱ）则对任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），总存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）恒成立，等价于f（x）＞g（x）_min恒成立，然后，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

[xln(x-1)]′(x-2)-xln(x-1)

(x-2)2

=

-2ln(x-1)+x- x x-1

(x-2)2

设h(x)=-2ln(x-1)+x-

x

x-1

，
则h′(x)=

x2-3x+3

(x-1)2

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）是增函数，又h（2）=0，
∴当x∈（1，2）时，h（x）＜0，
则f′（x）＜0，f（x）是单调递减函数；
当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
则f′（x）＞0，f（x）是单调递增函数．
综上知：f（x）在（1，2）单调递减函数，
f（x）在（2，+∞）单调递增函数．
（Ⅱ）对任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），
总存在x₂∈R，使得f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
等价于f（x）＞g（x）_min恒成立，而g（x）_min=2，
即证f（x）＞2恒成立．等价于

xln(x-1)

x-2

-2＞0，
也就是证 

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0                          
设G（x）=ln（x-1）+

4

x

-2，G′（x）=

1

x-1

-

4

x2

=

(x-2)2

(x-1)x2

≥0          
∴G（x） 在（1，+∞）单调递增函数，又G（2）=0
∴当x∈（1，2）时，G（x）＜0，
则

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0
当x∈（2，+∞）时，G（x）＞0，
则 

x

x-2

[ln（x-1）+

4

x

-2]＞0
综上可得：对任意x₁∈（1，2）∪（2，+∞），总存在x₂∈R，
使得f（x₁）＞g（x₂）

点评：本题重点考查函数的单调性与导数，求导法则、求导公式及其运用，属于中档题，难度中等．