Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（

3

，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=

π

2

对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；
（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+

π

2

）=g（x），且当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=

1

2

-h（x），求函数g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x对任意x∈[-

π

12

，0]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，可求得f（x）=2sin（2ωx+

π

3

），y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称⇒f（0）=f（π）⇒sin（2πω+

π

3

）=

3

2

，而ω∈（0，1），可求得ω=

1

6

，从而可得f（x）的表达式及其最小正周期；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得h（x）=2sin（2x-

π

3

），易知g（x）是以

π

2

为周期的函数，从而由当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=

1

2

-h（x），即可求得函数g（x）在[-π，0]上的解析式；
（3）令h（x）=2^x，不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x对任意x∈[-

π

12

，0]恒成立?g²（x）+4g（x）-a≥h（x）_max=h（0）=1恒成立，转化为a≤g²（x）+4g（x）-1（g（x）∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]）恒成立，从而可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）依题意知，sinα=

3

( 3 )2+32

=

3

2

，cosα=

1

2

，
∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx
=

3

cos2ωx+sin2ωx
=2（

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx）
=2sin（2ωx+

π

3

），
又y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称，
∴f（0）=f（π），即2×

3

2

=2sin（2πω+

π

3

），
∴sin（2πω+

π

3

）=

3

2

，
∵ω∈（0，1），
∴

π

3

＜2πω+

π

3

＜

7π

3

，
∴2πω+

π

3

=

2π

3

，
解得：ω=

1

6

，
∴f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

），T=6π；
（2）将f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）图象上各点的横坐标变为原来的

1

6

，得到y=2sin（2x+

π

3

）的图象，再将所得图象向右平移

π

3

个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2x-

π

3

），
∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x+

π

2

）=g（x），
∴g（x）是以

π

2

为周期的函数，
又当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=

1

2

-h（x）=

1

2

-2sin（2x-

π

3

），
∴当x∈[-

π

2

，0]时，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+

π

2

）=

1

2

-2sin[2（x+

π

2

）-

π

3

]=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）；
当x∈∈[-π，-

π

2

]时，x+π∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+π）=

1

2

-2sin[2（x+π）-

π

3

]=

1

2

-2sin（2x-

π

3

），
∴g（x）=

1 2 -2sin(2x- π 3 )，x∈[-π，- π 2 ] 1 2 -2sin(2x+ 2π 3 )，x∈[- π 2 ，0]

；
（3）令h（x）=2^x，则h（x）=2^x为增函数，
∴当x∈[-

π

12

，0]时，h（x）_max=h（0）=1，
∴不等式g²（x）+4g（x）-a≥2^x对任意x∈[-

π

12

，0]恒成立?g²（x）+4g（x）-a≥h（x）_max=h（0）=1恒成立，
∴a≤g²（x）+4g（x）-1．
∵当x∈[-

π

12

，0]时，g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

），
由2x+

2π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]知，

3

≤2sin（2x+

2π

3

）≤2，-

3

2

≤

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）≤

1

2

-

3

，
即x∈[-

π

12

，0]时，g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

）∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]，
令t=g（x）=

1

2

-2sin（2x+

2π

3

），则t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]，
∴a≤g²（x）+4g（x）-1转化为：a≤t²+4t-1=（t+2）²-5（t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]）恒成立；
令k（t）=（t+2）²-5（t∈[-

3

2

，

1

2

-

3

]），
则k（t）=（t+2）²-5在区间[-

3

2

，

1

2

-

3

]上单调递增，
∴k（t）_min=k（-

3

2

）=-

19

4

．
∴实数a的取值范围为（-∞，-

19

4

]．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的周期性与单调性，考查函数解析式的确定与函数恒成立问题，考查抽象思维与综合应用能力，属于难题．