题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，
]上的最大值为2．
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
，求边长a．
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
9
| ||
| 4 |
考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）先化简得f（x）=2sin（2x+
）+m+1，由x的范围可求得函数最大值，令其等于2可求m；
（2）由f（A）=1可求A，由sinB=3sinC得b=3c，①由△ABC面积为
，得bc=9，②联立可求；
| π |
| 6 |
（2）由f（A）=1可求A，由sinB=3sinC得b=3c，①由△ABC面积为
9
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）f（x）=2
sinxcosx+2cos2x+m=2sin（2x+
）+m+1，
∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
∴当2x+
=
即x=
时，函数f（x）在区间[0，
]上取到最大值，
此时，f(x)max=f(
)=m+3=2，解得m=-1；
（2）∵f（A）=1，
∴2sin（2A+
）=1，即sin（2A+
）=
，解得A=0（舍去）或A=
，
∵sinB=3sinC，
=
=
，
∴b=3c，①
∵△ABC面积为
，
∴S=
bcsinA=
bc•
=
，即bc=9，②
由①②解得b=3
，c=
，
∵a2=b2+c2-2bccosA=21，
∴a=
．
| 3 |
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
此时，f(x)max=f(
| π |
| 6 |
（2）∵f（A）=1，
∴2sin（2A+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵sinB=3sinC，
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴b=3c，①
∵△ABC面积为
9
| ||
| 4 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
9
| ||
| 4 |
由①②解得b=3
| 3 |
| 3 |
∵a2=b2+c2-2bccosA=21，
∴a=
| 21 |
点评：该题考查三角恒等变换、正弦定理及其应用，考查学生的运算求解能力，属中档题．
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