题目内容
在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，设平面向量
=（cosA，sinA），
=（
，
），函数f（A）=
•
+1，
（Ⅰ）求函数f（A）的值域和单调递增区间；
（Ⅱ）当f（A）=
，且
＜A＜
时，求sinA的值．
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求函数f（A）的值域和单调递增区间；
（Ⅱ）当f（A）=
| 9 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值
分析：化简可得f（A）=sin(A+
)+1，（Ⅰ）由0＜A＜π可得函数f（A）的值域，由
＜A+
≤
可得f（A）的单调递增区间；（Ⅱ）由题意可得sin(A+
)=
，进而可得cos(A+
)=-
，而sinA=sin[(A+
)-
]，由两角差的正弦公式可得．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
解：由题意可得f（A）=（cosA，sinA）•(
，
)+1
=
cosA+
sinA+1=sin(A+
)+1，
（Ⅰ）∵0＜A＜π，∴
＜A+
＜
，
∴sin(A+
)∈(-
，1]，∴sin(A+
)+1∈(1-
，2]
∴函数f（A）的值域是(1-
，2]；
当
＜A+
≤
，即0＜A≤
时，函数f（A）单调递增，
∴f（A）的单调递增区间为(0，
]；
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
)+1=
，得sin(A+
)=
，
∵
＜A＜
，∴
＜A+
＜π，∴cos(A+
)=-
，
∴sinA=sin[(A+
)-
]=
sin(A+
)-
cos(A+
)=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）∵0＜A＜π，∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴sin(A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴函数f（A）的值域是(1-
| ||
| 2 |
当
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴f（A）的单调递增区间为(0，
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
| π |
| 3 |
| 9 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∵
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sinA=sin[(A+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 10 |
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及数量积和正弦函数的单调性，属中档题．
练习册系列答案
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