Question

已知抛物线C：y²=4x焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点，l₁、l₂分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l₁、l₂的交点．
（1）求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
（2）设C、D为直线l₁、l₂与直线x=4的交点，△PCD面积为S₁，△PAB面积为S₂，求

S1

S2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y2）（y₁＞0＞y₂），设l₁方程为y-y₁=k1(x-

y12

4

)，由其余抛物线相切可得k1=

2

y1

，l₁方程为y=

2

y1

x+

1

2

y1，同理l₂方程为y=

2

y2

x+

1

2

y2，联立l₁、l₂方程可得点P坐标为P（

y1y2

4

，

y1+y2

2

），设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线方程联立及韦达定理可求得x_P=-1，于是得到结论；
（2）由（1）知，C、D的坐标分别为C(4 ， 

8

y1

+

1

2

y1)、D(4 ， 

8

y2

+

1

2

y2)．由三角形面积公式分别表示出S₁，S₂，根据

S1

S2

的形式可求其范围；

解答： 解：（1）设A（

y12

4

，y₁），B（

y22

4

，y2）（y₁＞0＞y₂），
易知l₁斜率存在，设为k₁，则l₁方程为y-y₁=k1(x-

y12

4

)，
由

y-y1=k1(x- y12 4 ) y2=4x

，得k1y2-4y+4y1-k1y12=0，
由直线l₁与抛物线C相切，知△=16-4k1(4y1-k1y12)=0，
于是，k1=

2

y1

，l₁方程为y=

2

y1

x+

1

2

y1，
同理l₂方程为y=

2

y2

x+

1

2

y2，
联立l₁、l₂方程可得点P坐标为P（

y1y2

4

，

y1+y2

2

），
设直线AB的方程为x=ty+1，与抛物线方程联立得y²-4ty-4=0．
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，则xP=

y1y2

4

=-1，
∴点P定在直线x=-1上．
（2）由（1）知，C、D的坐标分别为C(4 ， 

8

y1

+

1

2

y1)、D(4 ， 

8

y2

+

1

2

y2)．
∴| CD |=|  (

8

y1

+

1

2

y1)-(

8

y2

+

1

2

y2) |=| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |．
∴S₁=S△PCD=

1

2

| 4-

y1y2

4

 |•| 

(y1y2-16)(y1-y2)

2y1y2

 |=

25

4

|y1-y2|，
S2=S△PAB=

1

2

|-2-2t2|

1+t2

•

1+t2

|y1-y2|，

S1

S2

=

25

4(1+t2)

∈(0，

25

4

]．

点评：该题考查抛物线的方程性质、直线与抛物线的位置关系、切线等知识，考查学生的运算求解及推理论证能力，综合性较强，难度较大．