Question

已知曲线C的参数方程为x=

3

cosα y=3sinα 以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为ρcos（θ+

π

6

）=1．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M是曲线C上的点，求M到直线l的距离的最大值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用sin²α+cos²α=1即可把曲线C的参数方程化为普通方程；
（II）由直线1的极坐标方程ρcos（θ+

π

6

）=1，展开

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ=1，化为直角坐标方程为

3

x-y-2=0．设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为

3

x-y+m=0，与椭圆方程联立化为6x2+2

3

mx+m2-9=0，令△=0，解得m=±2

3

．取m=2

3

，求出两条平行线之间的距离即可．

解答： 解：（I）由曲线C的参数方程为x=

3

cosα，y=3sinα，利用sin²α+cos²α=1化为

y2

9

+

x2

3

=1．
（II）由直线1的极坐标方程ρcos（θ+

π

6

）=1，展开

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ=1，化为直角坐标方程为

3

x-y-2=0．
设与直线l平行且与椭圆相切的直线方程为

3

x-y+m=0，
联立

y2+3x2=9 3 x-y+m=0

，化为6x2+2

3

mx+m2-9=0，
令△=0，化为m²=18，解得m=±2

3

．
取m=2

3

，
则M到直线l的距离的最大值=

2 3 +2

2

=

3

+1．

点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程、直线与椭圆相切问题、平行线之间的距离等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．