Question

下列命题正确的是（　　）
①若f（3^x）=4xlog₂3+2，则f（2）+f（4）+…+f（2⁸）=180；
②函数f（x）=tan2x的对称中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z）；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④设常数α使方程sinx+

3

cosx=α在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

7π

3

．

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：求出函数的解析式，然后求出数列的和判断①的真假．利用反例判断②的正误；通过特称命题的否定判断③的正误；请查收的三个零点，求出和判断④的正误．

解答： 解：对于①，若f（3^x）=4xlog₂3+2=4log₂3^x+2，令3^x=t，可得f（t）=4log₂t+2，
则f（2）+f（4）+…+f（2⁸）=4log₂2+2+8log₂2+2+12log₂2+2+16log₂2+2+20log₂2+2+24log₂2+2+28log₂2+2+32log₂2+2=160≠180，所以①不正确．
对于②，函数f（x）=tan2x的对称中心是（

kπ

4

，0）（k∈Z），所以②不正确．
对于③，“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；满足特称命题的否定形式，所以③正确．
对于④，设常数a使方程sinx+

3

cosx=a化为2sin（x+

π

3

）=a，在闭区间[0，2π]上恰有三个解x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，则x₁+x₂+x₃=

7π

3

．所以④正确．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假的判断与应用，可以采用排除法解答，方便快捷，本题考查函数的解析式的求法，命题的否定，函数的零点以及三角函数的对称轴的应用，考查分析问题解决问题的能力．