Question

2．已知定点A（-1，0），圆C：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0．
（1）过点A向圆C引切线，求切线长；
（2）过点A作直线l₁交圆C于P、Q，且$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PQ}$，求直线1₁的斜率k；
（3）定点M，N在直线l₂：x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=$\sqrt{3}$RM，试求M，N两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理，求切线长；
（2）过点A作直线l₁交圆C于P、Q，且$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PQ}$，利用切割线定理求出PQ，即可求直线1₁的斜率k；
（3）定点M，N在直线l₂：x=1上，对于圆C上任意一点R都满足RN=$\sqrt{3}$RM，建立方程求M，N两点的坐标．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-2$\sqrt{3}$y+3=0，可化为（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1．
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∴|AC|=$\sqrt{4+3}$=$\sqrt{7}$，
∴切线长为$\sqrt{7-1}$=$\sqrt{6}$；
（2）由切割线定理，可得6=AP•AQ=2AP²，∴AP=PQ=$\sqrt{3}$
∴圆心到直线的距离d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
设直线1₁的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴$\frac{|2k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{11\sqrt{3}}{15}$；
（3）设M（1，a），N（1，b），R（x，y），则
RN²=（x-1）²+（y-b）²，RM²=（x-1）²+（y-a）²，
∵RN=$\sqrt{3}$RM，（x-1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1
∴1-（y-$\sqrt{3}$）²+（y-b）²=3[1-（y-$\sqrt{3}$）²]+3（y-a）²，
∴（4$\sqrt{3}$-6a+2b）y+3a²-b²-4=0，
∴4$\sqrt{3}$-6a+2b=0且3a²-b²-4=0，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=2$\sqrt{3}$或a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=0，
∴M（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，N（1，2$\sqrt{3}$）或M（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），N（1，0）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．