Question

12．设x＞0，y＞0，且（x-$\frac{1}{y}$）²=$\frac{16y}{x}$，则当x+$\frac{1}{y}$取最小值时，x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=12．

Answer 1

分析 当x+$\frac{1}{y}$取最小值时，（x+$\frac{1}{y}$）²取最小值，变形可得（x+$\frac{1}{y}$）²=$\frac{4x}{y}$+$\frac{16y}{x}$由基本不等式和等号成立的条件可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴当x+$\frac{1}{y}$取最小值时，（x+$\frac{1}{y}$）²取最小值，
∵（x+$\frac{1}{y}$）²=x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2x}{y}$，（x-$\frac{1}{y}$）²=$\frac{16y}{x}$，
∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{16y}{x}$，∴（x+$\frac{1}{y}$）²=$\frac{4x}{y}$+$\frac{16y}{x}$
≥2$\sqrt{\frac{4x}{y}•\frac{16y}{x}}$=16，∴x+$\frac{1}{y}$≥4，
当且仅当$\frac{4x}{y}$=$\frac{16y}{x}$即x=2y时取等号，
∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2x}{y}$=16，∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2•2y}{y}$=16，
∴x²+$\frac{1}{{y}^{2}}$=16-$\frac{2•2y}{y}$=12，
故答案为：12．

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．