Question

7．已知x＞9，函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$的最小值是5．

Answer 1

分析 将函数化为y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3，由x＞9，可得$\sqrt{x}$-3＞0，运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由函数y=$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$，
得y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3，
∵x＞9，∴$\sqrt{x}$-3＞0，
∴由基本不等式得y=$\sqrt{x}$-3+$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$+3
≥2$\sqrt{（\sqrt{x}-3）•\frac{1}{\sqrt{x}-3}}$+3=2+3=5，
当且仅当$\sqrt{x}$-3=$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$，即$\sqrt{x}$-3=1，即x=16时取等号．
故最小值为5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查基本不等式的应用：求最值，利用配凑法将条件转化为不等式成立的条件是解决本题的关键．