Question

14．已知函数f（x）=log_0.5（1+2^x+4^x•a），当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，则实数α的值的集合为{a|a≥-2}，当f（x）的定义域为（-∞，1]时，则实数α的值的集合为{a|a≥-2}．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）在x∈（-∞，1]时有意义，得出1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，求出a的取值范围即可；
（2）当f（x）的定义域为（-∞，1]时，1+2^x+4^x•a＞0恒成立，从而求出a的取值集合．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_0.5（1+2^x+4^x•a），且当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，
∴1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在x∈（-∞，1]上恒成立；
设t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，且x∈（-∞，1]，则t≥$\frac{1}{2}$，
则函数g（t）=-t²-t≤-2；
∴实数α的值的集合为{a|≥-2}；
（2）当f（x）的定义域为（-∞，1]时，1+2^x+4^x•a＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-${（\frac{1}{4}）}^{x}$-${（\frac{1}{2}）}^{x}$在x∈（-∞，1]上恒成立；
设t=${（\frac{1}{2}）}^{x}$，且x∈（-∞，1]，则t≥$\frac{1}{2}$，
则函数g（t）=-t²-t≤-2；
∴实数α的值的集合为{a|≥-2}．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了换元法与转化思想的应用问题，是基础题目．