Question

2．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点A₁到截面AB₁D₁的距离是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知数据，结合等体积法${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$可得距离h的方程，解方程可得．

解答 解：设点A₁到截面AB₁D₁的距离为h，
由已知数据可得AB₁=AD₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，B₁D₁=$\sqrt{2}$，
∴cos∠B₁AD₁=$\frac{5+5-2}{2•\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，故sin∠B₁AD₁=$\frac{3}{5}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{2}$，
由等体积法可得${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×2，解得h=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查空间点线面之间的距离运算，涉及等体积法和三棱锥的体积公式和三角形面积的计算，属中档题．