Question

已知1＜a＜2，x≥1，f（x）=

ax+a-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

（1）比较f（x）与g（x）的大小；
（2）设n∈N⁺，求证：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2n）＜4n-

1

2

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,指数函数综合题

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）利用作差法即可比较f（x）与g（x）的大小．
（2）利用放缩法将不等式转化，结合等比数列的前n项和公式即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ax+a-x

2

，g（x）=

2x+2-x

2

∴f（x）-g（x）=

ax+a-x

2

-

2x+2-x

2

=

ax-2x+a-x-2-x

2

=(ax-2x)?

(2a)x-1

2?(2a)x

，
∵1＜a＜2，x≥1，
∴a^x-2^x＜0，（2a）^x-1＞0，2（2a）^x＞0，
∴f（x）-g（x）＜0
即f（x）＜g（x）．
（2）由（1）知 f（x）＜g（x），
∴f（1）+f（2）+…+f（2n）＜g（1）+g（2）+…+g（2n） 
=

1

2

[2+2²+…+2²ⁿ+（2^-1+2^-2+…+2^-2n）]
=

1

2

[

2(1-22n)

1-2

+

1 2 [1-( 1 2 )2n]

1- 1 2

]=

1

2

（2?4ⁿ-2+1-2^-2n）=4n-[

1

2

+(

1

2

)2n+1]=4n-

1

2

-(

1

2

)2n+1＜4n-

1

2

，
∴不等式成立．

点评：本题主要考查不等式的比较和不等式的证明，考查学生的转化意识，综合性较强，难度较大．