Question

12．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为线段BD的中点，直线OC与平面A₁BD所成的角为α，则sin α的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，连接OA₁，根据线面角的定义得到∠AOA₁是直线OC与平面A₁BD所成的角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：连接AC交BD于O，连接OA₁，
则∠AOA₁是直线OC与平面A₁BD所成的角，即∠AOA₁=α，
设正方体的棱长为1，
则AA₁=1，AC=$\sqrt{2}$，AO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
OA₁=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{\frac{2}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则sinα=$\frac{A{A}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查线面角的求解，根据线面角的定义作出线面角的平面角是解决本题的关键．