Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，若m，n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,导数的综合应用

分析：令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．

解答： 解：求导数可得f′（x）=-3x²+2ax
∵函数f（x）=-x³+ax²-4在x=2处取得极值，
∴-12+4a=0，解得a=3
∴f′（x）=-3x²+6x
∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n²+6n，当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9
当m∈[-1，1]时，f（m）=-m³+3m²-4
f′（m）=-3m²+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=0时，f（m）最小为-4
故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13．
故答案为：-13．

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．