Question

已知函数f（x）=x²，g(x)=

1

2

λf′(x)+sinx在[-1，1]上的减函数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围；
（Ⅲ）关于x的方程lnf（1+x）=2x-m（x∈[

1

e

-1，e-1]）有两个根 （无理数e=2.71828…），求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，可得切线的斜率，从而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，推出g（x），通过g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，转化为λ≥-2sin1，求λ的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程lnf（1+x）=2x-m在区间[ 

1

e

-1，e-1]上有两个根（e为自然对数的底数），转化为函数h（x）的图象与x轴交点个数，通过导数判断函数的单调性，求出最大值，得到方程有两个根的条件，求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²，∴f'（x）=2x，（1分）
∴f'（1）=2，（2分）
∴在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；（3分）
（Ⅱ）∵g（x）=λx+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立，（4分）
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，∴λ≤-1，（5分）
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴[g（x）]_max=g（-1）=-λ-sin1，
∵g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立，（6分）
∴λ≥-2sin1，
∵sin30°＜sin1，∴1＜2sin1，
∴-2sin1≤λ≤-1；（7分）
（III）由（Ⅰ）知f（1+x）=（1+x）²，∴方程为ln（1+x）²=2x-m，
设h（x）=ln（1+x）²-2x+m，则方程ln（1+x）²=2x-m根的个数即为函数h（x）的图象与x轴交点个数，（8分）
∵h′(x)=

2

1+x

-2=

-2x

1+x

，（9分）
当x∈（-1，0）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（-1，0）上为增函数，
当x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上为减函数，
∴h（x）在[

1

e

-1，0)上为增函数，在（0，e-1]上为减函数，
∴h（x）在[

1

e

-1，e-1]的最大值为h（0）=m，（11分）
又h(

1

e

-1)=m-

2

e

，h(e-1)=m+4-2e，2e-4＞

2

e

，
方程有两根满足：

h( 1 e -1)≤0 h(0)＞0 h(e-1)≤0

，（12分）
即0＜m≤

2

e

时，原方程有两解．（14分）

点评：本题是难题，考查函数导数在解决恒成立问题，以及方程的根的应用，注意转化思想的应用，恒成立的应用，是难度较大的题目，常考题型．