Question

已知F₁、F₂为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且

MF1

•

MF2

的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(-

6

5

，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设M（x'，y'），化简

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），从而求最值，进而求椭圆方程；
（2）设直线MN的方程为x=ky-6并与椭圆联立，利用韦达定理求

AM

•

AN

的值，从而说明是直角．

解答： 解：（1）设M（x'，y'），
则y'²=b²-

b2

a2

x'²，

MF1

•

MF2

=

a2-b2

a2

x'²+2b²-a²（-a≤x≤a），
则当x'=0时，

MF1

•

MF2

取得最小值2b²-a²=-2，
当x'=±a时，

MF1

•

MF2

取得最大值b²=1，
∴a²=4，
故椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设直线MN的方程为x=ky-

6

5

，
联立方程组可得，

x=ky- 6 5 x2 4 +y2=1

化简得：（k²+4）y²-2.4ky-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y₁+y₂=

12k

5(k2+4)

，y₁y₂=-

64

25(k2+4)

，
又A（-2，0），

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（k²+1）y₁y₂+

4

5

k（y₁+y₂）+

16

25

=
=-（k²+1）

64

25(k2+4)

+

4

5

k

12k

5(k2+4)

+

16

25

=0，
所以∠MAN为直角．

点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用，同时考查了向量的应用，属于难题．