Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

2

+y²=1的左右焦点，过F₁作倾斜角为45°的直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）求△F₂AB的周长
（2）求AB的长
（3）求△F₂AB的面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由

x2

2

+y2=1 可得 a=

2

，△F₂AB的周长=4a=4

2

．
（2）把 y=x+1 代入 x²+2y²=2 求得交点A，B的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．
（3）利用点到直线的距离公式可得点F₂到直线AB的距离d，即可得出S=

1

2

•|AB|•d．

解答： 解：（1）由

x2

2

+y2=1 可得 a=

2

，b=1=c，
∴△F₂AB的周长=4a=4

2

．
（2）把 y=x+1 代入 x²+2y²=2 得3x²+4x=0，
解得x₁=0  x₂=-

4

3

，y₁=1，y₂=-

1

3

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 2

3

．
（3）点F₂到直线AB的距离d=

|1-0+1|

2

=

2

，
S=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

4 2

3

2

=

4

3

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式，
考查了计算能力，属于基础题．