Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若常数x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），求证：方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知只要判断△=b²-4ac＞0；
（2）购造函数F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，判断F（x₁）×F（x₂）＜0即可．

解答： 证明：∵f（1）=0，∴a+b+c=0，又a＞b＞c，故a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴f（x）的图象与x轴有2个交点．
（2）设F（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，则F（x₁）×F（x₂）=[f（x₁）-

1

2

（f（x₁）-

1

2

f（x₂）]×[f（x₂）-

1

2

f（x₁）-

1

2

f（x₂）]
=

1

2

[f（x₁）-f（x₂）]

1

2

[f（x₂）-f（x₁）]=-

1

4

[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
∴方程F（x）=0在（x₁，x₂）上必有一个实根，
即方程f（x）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]必有一根属于（x₁，x₂）．

点评：本题考查了函数图象与x轴交点问题以及根的存在性定理的运用．