Question

如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=2．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求三棱锥A₁一AB₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁B，交AB₁于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）三棱锥A₁一AB₁D的体积即为三棱锥D-A₁AB₁的体积．过C作CF⊥AB，即有B₁B⊥CF，则CF⊥平面ABB₁A₁，
过D作DH∥CF，交AB于H，则有DH⊥平面ABB₁A₁，再由棱锥的体积公式，计算即可得到体积．

解答： （1）证明：连接A₁B，交AB₁于E，连接DE，
由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面为矩形，则E为A₁B的中点，
又D为BC的中点，
则有DE∥A₁C，
DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
故A₁C∥平面AB₁D；
（2）解：三棱锥A₁一AB₁D的体积即为三棱锥D-A₁AB₁的体积．
过C作CF⊥AB，由于B₁B⊥平面ABC，即有B₁B⊥CF，
则CF⊥平面ABB₁A₁，
过D作DH∥CF，交AB于H，则有DH⊥平面ABB₁A₁，
由等边三角形ABC的边长为2，则CF=

3

，DH=

3

2

，
则三棱锥D-A₁AB₁的体积为

1

3

DH•S_△AA1B1=

1

3

×

3

2

×

1

2

×2×2=

3

3

．
故三棱锥A₁一AB₁D的体积为

3

3

．

点评：本题考查线面平行的判定定理和运用，考查棱锥的体积公式及应用，注意三棱锥的等积变换方法，属于中档题．