Question

如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．

解答： 解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，
∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，
∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，
又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．
由PD=1，得BD=2PD=2．
在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，
∴圆O的半径为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了圆的弦切角定理及直角三角形的有关性质等，解题的突破口是得到∠BDP与∠PBD的2倍关系．应记住一些常用的结论，如
（1）弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
（3）同弧（或等弧）所对的圆周角相等．
（4）90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是90°．