题目内容
已知在△ABC中，
=c2，sinA•sinB=
，则△ABC一定是 ．
| a3+b3-c3 |
| a+b-c |
| 3 |
| 4 |
考点：三角形的形状判断
专题：解三角形
分析：先把已知等式整理可求得a，b和c的关系，利用余弦定理求得C，通过两角和公式求得cosAcosB的值，最后利用两角和与差的余弦函数求得cos（A-B）=1，判断出A=B，最终判断出三角形的形状．
解答：
解：∵
=c2，
∴a3+b3-c3=ac2+bc2-c3，
（a+b）（a2+b2-ab）=（a+b）c2，
∴a2+b2-ab=c2，
∴cosC=
=
，
∴C=
，
∵sinAsinB=
，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-
，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
| a3+b3-c3 |
| a+b-c |
∴a3+b3-c3=ac2+bc2-c3，
（a+b）（a2+b2-ab）=（a+b）c2，
∴a2+b2-ab=c2，
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∴C=
| π |
| 3 |
∵sinAsinB=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=
| 1 |
| 4 |
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．解题的关键是找到角与角之间的关系．
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