题目内容
设函数f（x）=
cosx+
sinx+1
（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（2）当f（a）=
，且
＜α＜
时，求sin（2α+
）的值．
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；
（2）当f（a）=
| 9 |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）根据三角函数的关系式，即可求求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．
（2）根据三角函数的诱导公式即可得到结论．
解答：
解：（1）依题意f（x）=
cosx+
sinx+1=sin（x+
）+1，
∵-1≤sin（x+
）≤1，则∵0≤sin（x+
）+1≤2，
函数f（x）的值域是[0，2]，
令-
+2kπ≤x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得-
+2kπ≤x≤
+2kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为[-
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z．
（2）由f（a）=sin（α+
）+1=
，得sin（α+
）=
，
∵
＜α＜
，∴
＜α+
＜π时，得cos（α+
）=-
，
∴sin（2α+
）=sin2（α+
）=2sin（α+
）cos（α+
）=-2×
×
=-
．
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵-1≤sin（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
函数f（x）的值域是[0，2]，
令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
所以函数f（x）的单调增区间为[-
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由f（a）=sin（α+
| π |
| 3 |
| 9 |
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| π |
| 3 |
| 4 |
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∵
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴sin（2α+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
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| 25 |
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数求值，考查学生的运算能力，利用三角函数的诱导公式进行化简即可得到结论．
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