Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x．
（1）若x=3是f（x）的一个极值点，求f（x）在区间[2，a]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值，和端点值，求出最值即可．
（2）（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，得到f′（x）=3x²-2ax+3≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，分离参数得到a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，求出最小值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由题意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，5]，x=

1

3

 （舍去），
易知f（x）在区间[2，3]上单调递减，在[3，5]上单调递增，而f（2）=-6，f（5）=15，f（3）=-9
故f（x）在区间[2，a]上的最大值为15，最小值为-9；
（2）f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，
∵

3

2

（x+

1

x

）≥

3

2

•2=3，当且仅当x=1时等号成立
∴a≤3，
即实数a的取值范围（-∞，3]．

点评：本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．