Question

为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者．统计如下：

班      级	甲	乙	丙	丁
志愿者人数	45	60	30	15

为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率；
（2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X表示抽得甲班志愿者的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5，从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有

C

2 50

=1225种，这两名志愿者来自同一班级的取法共有

C

2 15

+

C

2 20

+

C

2 10

+

C

2 5

，由此能求出这两名来自同一个班级的概率．
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10．X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5…（2分）
从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有

C

2 50

=1225种，
这两名志愿者来自同一班级的取法共有

C

2 15

+

C

2 20

+

C

2 10

+

C

2 5

=350．…（5分）
∴p=

350

1225

=

2

7

．…（6分）
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，
来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10．
X的可能取值为0，1，2，…（8分）
P（X=0）=

C 2 10

C 2 25

=

3

20

，
P(X=1)=

C 1 15 C 1 10

C 2 25

=

1

2

，
P(X=2)=

C 2 15

C 2 25

=

7

20

．
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	3 20	1 2	7 20

…（11分）
EX=0×

3

20

+1×

1

2

+2×

7

20

=1.2．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．