Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的首项为2，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=

1

(an+1)2-1

，（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列及等比数列的性质列出方程求得公差d，即可得出结论；
（2）b_n=

1

(an+1)2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），利用裂项相消法求和即可．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₂，a₄成等比数列得
(a2)2=a₁•a₄，
又a₁=2，∴(a1+d)2=a₁（a₁+3d），
∵d≠0，∴d=2，
∴a_n=2n．
（2）∵b_n=

1

(an+1)2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴s_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．

点评：本题主要考查等差数列及等比数列的性质和裂项相消法求和等知识，考查学生的计算能力，属于中档题．