Question

已知a_n≠0，a₁=1，a_n=

2Sn2

2Sn-1

，（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n=

2Sn2

2Sn-1

=S_n-S_n-1，（n≥2），整理可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，结合等差数列的通项公式可求S_n，进而可求a_n．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

2Sn2

2Sn-1

，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴

2Sn2

2Sn-1

=S_n-S_n-1（n≥2）
即有2S_n²-2S_nS_n-1-S_n+S_n-1=2S_n²，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴数列{

1

Sn

}是以2为公差，1为首项的等差数列，
∴

1

Sn

=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=

1

2n-1

．
∴a_n=

2Sn2

2Sn-1

=

2• 1 (2n-1)2

2• 1 2n-1 -1

=

1

(2n-1)(3-2n)

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式的应用，解题的关键构造法的应用．