Question

从1，2，3，…，n这n个数中取m（m，n∈N^*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m）．
（1）当n=6，m=3时，写出所有可能的递增等差数列及f（6，3）的值；
（2）求证：f（n，m）＞

(n-m)(n+1)

2(m-1)

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用列举法即可得出结论；
（2）由f（n，m）的意义，先得出其解析式为f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

t²+

2n-m+1

2

t，
设g(t)=-

m-1

2

t2+

2n-m+1

2

t，

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．求出g（t）的最小值即可得出结论．

解答： 解：（1）符合要求的递增等差数列为：
1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；1，3，5，2，4，6，共6个．
所以f（6，3）=6．…（4分）
（2）设等差数列首项为a₁，公差为d，
a_m=a₁+（m-1）d，d=

am-a1

m-1

≤

n-1

m-1

，
记

n-1

m-1

的整数部分是t，则

n-1

m-1

-1＜t≤

n-1

m-1

，即

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．
∴d的可能取值为1，2，…，t，
对于给定的d，a₁=a_m-（m-1）d≤n-（m-1）d，
当a₁分别取1，2，3，…，n-（m-1）d时，可得递增等差数列n-（m-1）d个．
所以当d取1，2，…，t时，得符合要求的等差数列的个数
f（n，m）=nt-（m-1）•

t(t+1)

2

=-

m-1

2

t²+

2n-m+1

2

t，
设g(t)=-

m-1

2

t2+

2n-m+1

2

t，

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

．

又g(

n-m

m-1

)=-

m-1

2

(

n-m

m-1

)2+

2n-m+1

2

•

n-m

m-1

=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

，
g(

n-1

m-1

)=-

m-1

2

(

n-1

m-1

)2+

2n-m+1

2

•

n-1

m-1

=

n-m+2

2

•

n-1

m-1

且g(

n-m

m-1

)-g(

n-1

m-1

)=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

-

n-m+2

2

•

n-1

m-1

=-1＜0，
所以，当

n-m

m-1

＜t≤

n-1

m-1

时，g(t)＞g(

m-n

m-1

)恒成立；
所以f（n，m）=g（t）＞g(

m-n

m-1

)=

(n-m)(n+1)

2(m-1)

…..（10分）

点评：本题主要考查学生的阅读理解能力及新知识的运用能力，运算能力，对于（2）可以归纳总结的方法帮助我们分析问题解决问题，属难题．