Question

8．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a²+ac=b²．
（Ⅰ）求A的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，A=$\frac{π}{6}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得a²-b²=c²-2bccosA，由a²+ac=b²得a²-b²=-ac，故c²-2bccosA=-ac，即cosA=$\frac{a+c}{2b}$，因为a+c＞b，所以cosA$＞\frac{1}{2}$，得出A的范围；
（2）将A=$\frac{π}{6}$和a=2分别代入a²+ac=b²和b²+c²-a²=2bccosA，联立方程组解出b，c，使用S=$\frac{1}{2}$bcsinA求出面积．

解答 解：（1）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，∴a²-b²=c²-2bccosA，又∵a²+ac=b²，∴a²-b²=-ac．
∴c²-2bccosA=-ac，∴cosA=$\frac{a+c}{2b}$，∵a+c＞b，∴cosA$＞\frac{1}{2}$．∴0＜A＜$\frac{π}{3}$．
（2）∵a²+ac=b²，∴4+2c=b²，∵b²+c²-a²=2bccosA，∴b²+c²-4=$\sqrt{3}$bc，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{4+2c={b}^{2}}\\{{b}^{2}+{c}^{2}-4=\sqrt{3}bc}\end{array}\right.$，解得b=2$\sqrt{3}$，c=4．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．