Question

16．（普通班）设动点P（x，y）到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比到y轴的距离大$\frac{1}{2}$．记点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）过F（$\frac{1}{2}$，0）作直线m交曲线C（x≥0）于A、B两点，若以AB为直径的圆过点D（0，$\frac{1}{2}$），求三角形ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）设出动点P的坐标，分P的横坐标小于等于0和大于0两种情况讨论，横坐标小于等于0时明显看出P的轨迹是x轴负半轴，x大于0时直接由题意列式化简整理即可．．
（2）设直线m的方程为x=my+$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x=my+$\frac{1}{2}$代入y²=2x，可得y²-2my-1=0，分类讨论，结合以AB为直径的圆过点D（0，$\frac{1}{2}$），求出m，即可求三角形ABD的面积．

解答 解：（1）P到定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离为$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$，P到y轴的距离为|x|，
∴动点P到定点定点F（$\frac{1}{2}$，0）的距离比到y轴的距离大$\frac{1}{2}$，
∴列出等式：$\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}}$-|x|=1
当x≤0时，P的轨迹为y=0（x≤0）；
当x＞0时，又化简得y²=2x为焦点为F（$\frac{1}{2}$，0）的抛物线．
则动点P的轨迹方程为：y²=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＞0}\\{0，x≤0}\end{array}\right.$；
（2）设直线m的方程为x=my+$\frac{1}{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x=my+$\frac{1}{2}$代入y²=2x，可得y²-2my-1=0
∴y₁y₂=-1，x₁x₂=（my₁+$\frac{1}{2}$）（my₂+$\frac{1}{2}$）=-2m²+$\frac{1}{4}$，
∴以AB为直径的圆过D（0，$\frac{1}{2}$），
∴（-x₁，$\frac{1}{2}$-y₁）•（-x₂，$\frac{1}{2}$-y₂）=0，
∴x₁x₂+（$\frac{1}{2}$-y₁）•（$\frac{1}{2}$-y₂）=0，
∴x₁x₂+y₁y₂+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=0，
∴-2m²+$\frac{1}{4}$-1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$×2m=0，解得m=0或-$\frac{1}{2}$，
m=0时，直线m的方程为x=$\frac{1}{2}$，|AB|=2，三角形ABD的面积S=$\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
m=-$\frac{1}{2}$时，直线m的方程为x=-$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$，|AB|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，d=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$三角形ABD的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{10}$=$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了抛物线的方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．