Question

对于函数f（x）=a-

2

ex+1

（a∈R）．
（1）确定f（x）的单调区间；
（2）求实数a，使f（x）是奇函数，在此基础上，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，由导数的符号确定函数的单调区间；
（2）由f（x）是奇函数，得f（0）=0，从而a-

2

e0+1

=a-1=0，可得a=1，把a代入函数的表达式再求函数的值域．

解答： 解：（1）∵对任意实数x，函数都有意义，∴函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=-

0-2ex

(ex+1)2

=

2ex

(ex+1)2

＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，
∴f（x）的递增区间是（-∞，+∞）．
（2）由f（x）是奇函数，得f（0）=0，∴a-

2

e0+1

=a-1=0，∴a=1．
∴f(x)=1-

2

ex+1

∵e^x＞0，∴e^x+1＞1，∴

1

ex+1

∈（0，1），∴-

2

ex+1

∈（-2，0），∴1-

2

ex+1

∈（-1，1），
∴f（x）的值域是（-1，1）

点评：本题考查函数的性质、单调性的判断及函数值域的求解，考查学生解决问题的能力．