Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，∠DAB=60°，PA=AD=2，M是PC上的一动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积
（2）当M满足什么条件时，平面MBD⊥平面PCD．证明你的结论．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：

分析：（1）利用棱锥的体积公式，直接求解四棱锥P-ABCD的体积
（2）当M满足满足DM⊥PC时，平面MBD⊥平面PCD．证明BD⊥PC，利用直线与平面垂直的判定定理，证明结论即可．

解答： 解：（1）解：v=

1

3

sh=

1

3

×

3

4

×4×2×2=

4 3

3

（2）证明：当PC上的点M满足DM⊥PC时，有PC⊥平面MBD，
证明如下：
连接AC与BD
底面ABCD各边都相等∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD∴PA⊥BD∴BD⊥面PAC∴BD⊥PC
当PC上的点M满足DM⊥PC时
有PC⊥平面MBD，
而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．

点评：本题考查棱锥的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．