Question

2．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，若$∠P{F_1}{F_2}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． $[{2，\sqrt{3}+1}]$
• B． $[{2，2\sqrt{3}+1}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2}]$
• D． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$

Answer 1

分析 设|PF₁|=x，|PF₂|=y，设∠PF₁F₂=θ，分析可得y-x=2a，tanθ=$\frac{x}{y}$，根据条件判断PF₁⊥PF₂，由双曲线的离心率公式可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（y-x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$=1+$\frac{2}{tanθ+\frac{1}{tanθ}-2}$，令t=tanθ+$\frac{1}{tanθ}$，分析tanθ的范围，由对号函数的性质分析可得t的范围，将t的范围代入其中，计算可得e²的范围，化简即可得答案．

解答 解：根据题意，设|PF₁|=x，|PF₂|=y，设∠PF₁F₂=θ，
则有y-x=2a，tanθ=$\frac{x}{y}$，
又由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则有x²+y²=|F₁F₂|=4c²，
e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{（y-x）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$
=1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}$=1+$\frac{2}{tanθ+\frac{1}{tanθ}-2}$，
令t=tanθ+$\frac{1}{tanθ}$，由于θ=$∠P{F_1}{F_2}∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，
则tanθ∈（2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），则t∈（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，4），
则有2≤e²≤2$\sqrt{3}$+4，
则有$\sqrt{2}$≤e≤$\sqrt{3}$+1，
即双曲线离心率e的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]；
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是根据条件判断PF₁⊥PF₂，结合正弦定理以及转化为函数最值问题．