Question

11．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移ϕ$（{0＜ϕ＜\frac{π}{2}}）$个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间$[{0，\frac{π}{3}}]$上单调递增，且函数g（x）的最大负零点在区间$（{-\frac{π}{3}，-\frac{π}{12}}）$内，则ϕ的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}]$
• B． $[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}）$
• C． $[{\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$
• D． $（{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求出g（x）的解析式，函数g（x）在区间$[{0，\frac{π}{3}}]$上单调递增，且函数g（x）的最大负零点在区间$（{-\frac{π}{3}，-\frac{π}{12}}）$内，根据三角函数的性质建立不等式，可得结论．

解答 解：函数f（x）=sin2x的图象向右平移ϕ，可得g（x）=sin（2x-2ϕ），
函数g（x）在区间$[{0，\frac{π}{3}}]$上单调递增吗，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2ϕ≥-\frac{π}{2}+2kπ}\\{\frac{2π}{3}-2ϕ≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，k∈Z，可得：$-kπ+\frac{π}{12}≤ϕ≤-kπ+\frac{π}{4}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{12}$≤ϕ$≤\frac{π}{4}$．
函数g（x）的零点为2x-2ϕ=kπ，k∈Z，即x=$\frac{1}{2}kπ+ϕ$
最大负零点在区间$（{-\frac{π}{3}，-\frac{π}{12}}）$内，
可得：${-\frac{π}{3}＜\frac{1}{2}kπ+ϕ＜-\frac{π}{12}}\end{array}\right.$，k∈Z，即$-\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{3}＜$ϕ$＜-\frac{1}{2}kπ-\frac{π}{12}$
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜ϕ$＜\frac{5π}{12}$
综上可得ϕ的取值范围是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]．
故选D．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．