Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，对n∈N^*，点（n，a_n）横在直线f（x）=-2x+k上，点（n，S_n）恒在抛物线g（x）=ax²+x上，其中k，a为常数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求直线f（x）与抛物线g（x）所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,定积分

专题：计算题,函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意得，a_n=k-2n，S_n=an²+n，由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1即可求出a=-1，k=2；
（2）由于f（x）=2-2x，g（x）=x-x²，画出直线和抛物线，求得交点A（1，0），B（2，-2），运用定积分求出曲线AB和直线x=2和x轴围成的面积，再运用三角形ABC的面积减去它，即可得到所求面积．

解答： 解：（1）点（n，a_n）恒在直线f（x）=-2x+k上，则有a_n=k-2n，
点（n，S_n）恒在抛物线g（x）=ax²+x上，则有S_n=an²+n，
则a₁=S₁=k-2=a+1，a_n=S_n-S_n-1=an²+n-a（n-1）²-（n-1）
=2an+1-a，则有a=-1，k=2，
即有a_n=2-2n；
（2）由于a_n=2-2n，S_n=n-n²．
则f（x）=2-2x，g（x）=x-x²，
如图画出直线和抛物线，求得交点A（1，0），B（2，-2），
曲线AB和直线x=2和x轴围成的面积为|

∫

2 1

（x-x²）dx|=|（

1

2

x²-

1

3

x³）|

2 1

|
=|（2-

8

3

）-（

1

2

-

1

3

）|=

5

6

，
三角形ABC的面积为

1

2

×2×1=1，
则直线f（x）与抛物线g（x）所围成的封闭图形的面积为1-

5

6

=

1

6

．

点评：本题考查数列的通项和求和，及其之间的关系，考查封闭图形的面积求法，注意运用定积分的方法，考查运算能力，属于中档题．