Question

10．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA₁=4，CD=1．
（Ⅰ）证明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求多面体BDC₁A₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AD₁，B₁D₁，由已知可得A₁D⊥AD₁，再由AB⊥平面ADD₁，得AB⊥A₁D，由此可得A₁D⊥平面ABD₁，即A₁D⊥BD₁，在平面A₁C₁ B₁内，通过解直角三角形可得A₁C₁⊥B₁D₁，即BB₁⊥平面A₁C₁ B₁，进一步得到BB₁⊥A₁C₁，再由线面垂直的判定可得BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）多面体BDC₁A₁D₁可看作是有公共底面DA₁C₁ 的两个三棱锥构成的组合体，求出△A₁DC₁的面积S，由（Ⅰ）知，BD₁⊥面A₁DC₁，然后由棱锥体积公式求得多面体BDC₁A₁D₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接AD₁，B₁D₁，
∵AA₁D₁D是正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又∵AB⊥平面ADD₁，A₁D?平面ADD₁，∴AB⊥A₁D．
因此，A₁D⊥平面ABD₁，∴A₁D⊥BD₁，
又在平面A₁C₁ B₁内，Rt△C₁D₁A₁∽Rt△B₁A₁D₁，
∴∠D₁A₁C₁+∠A₁D₁B₁=∠D₁A₁C₁+∠D₁C₁A₁=90°，即A₁C₁⊥B₁D₁．
又BB₁⊥平面A₁C₁ B₁，A₁C₁?平面A₁C₁B₁，
∴BB₁⊥A₁C₁，
因此，A₁C₁⊥平面BB₁D₁，∴A₁C₁⊥BD₁，
又A₁D∩A₁C₁=A₁，∴BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）解：多面体BDC₁A₁D₁可看作是有公共底面DA₁C₁ 的两个三棱锥构成的组合体，
在Rt△DD₁C₁ 中，$D{C}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，在Rt△DAA₁ 中，$D{A}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
在Rt△A₁D₁C₁ 中，${A}_{1}{C}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，∴△A₁DC₁为等腰三角形，且面积S=$\sqrt{6}$，
由（Ⅰ）知，BD₁⊥面A₁DC₁，且$B{D}_{1}=\sqrt{{D}_{1}{A}^{2}+{A}_{1}{B}^{2}}=2\sqrt{6}$．
∴多面体BDC₁A₁D₁的体积V=$\frac{1}{3}S×B{D}_{1}=\frac{1}{3}×\sqrt{6}×2\sqrt{6}=4$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．