Question

4．已知曲线C：y=e^x和直线l：ax+by=0，若直线l上有且只有两个关于y轴的对称点在曲线C上，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• C． （0，$\frac{1}{e}$）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 设k=-$\frac{a}{b}$，求出l关于y轴的对称直线方程，把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=e^x上，转化为直线y=-kx与y=e^x有两个交点，然后求出过原点与曲线Γ：y=e^x相切的直线的斜率得答案．

解答 解：设k=-$\frac{a}{b}$，直线l：y=kx关于y轴的对称直线方程为y=-kx，
要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线Γ：y=e^x上，
则直线y=-kx与y=e^x有两个交点，
如图，设过原点的直线切曲线y=e^x于P（m，e^m），
由y=e^x，得y′=e^x，∴y′=e^m，
则切线方程为y-e^m=e^m（x-m），
把O（0，0）代入，可得m=1，
∴切线的斜率k=e¹=e，
∴-k＞e，则k＜-e，
∴-$\frac{a}{b}$＜-e，
∴$\frac{b}{a}$的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题．