Question

9．平面内定点财（1，0），定直线l：x=4，P为平面内动点，作PQ丄l，垂足为Q，且$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II ）过点M与坐标轴不垂直的直线，交动点P的轨迹于点A、B，线段AB的垂直平分 线交x轴于点H，试判断$\frac{|HM|}{|AB|}$-是否为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），由题意可得Q（4，y），又M（1，0），结合且$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．即可求得点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点M的直线斜率存在时的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得（3+4k²）x^2-8k²x+4k²-12=0．
利用韦达定理，可求AB的中点D（x₀，y₀），令y=0可得H坐标，利用弦长公式求出|HM|、|AB|即可．

解答 ：（1）设P（x，y），则由已知得Q（4，y），又M（1，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（4-x，0），$\overrightarrow{PM}$=（1-x，-y），
∵$|\overrightarrow{PQ}|=2|\overrightarrow{PM}|$．∴4[（1-x）²+y²]=（4-x）²，
整理得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）依题意直线AB的斜率垂直且不为0，可设AB：y=k（x-1）（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得（3+4k²）x^2-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
设AB的中点为D（x₀，y₀），
${x}_{0}=\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{y}_{0}=k（{x}_{0}-1）=\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$，
线段AB的垂直平分线为：y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）$，令y=0，${x}_{H}=\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|HM|=|1-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$|=$\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$
断$\frac{|HM|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$（定值）．

点评 本题考查了动点P的轨迹方程、椭圆的标准方程与简单性质和直线与圆位置关系，弦长公式等知识，突出方程思想，转化思想的考查与运用，属于中档题．