Question

9．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与y轴的正半轴相交于点$M（{0，\sqrt{3}}）$，且椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为$\frac{1}{4}$．
（1）求曲线E的方程；
（2）证明：直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
（3）求△ABM的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程可知：b=$\sqrt{3}$，利用离心率公式可知则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）若直线AB的斜率不存在，不成立，则设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理，直线的斜率公式及${k_{AM}}•{k_{BM}}=\frac{1}{4}$，即可求得故$m=\sqrt{3}$或$m=2\sqrt{3}$，由x₁x₂≠0知$m=2\sqrt{3}$，即直线AB恒过定点$N（{0，2\sqrt{3}}）$．
（3）利用韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△ABM的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可知：b=$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4，
∴曲线E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：由曲线E的方程得，上顶点$M（{0，\sqrt{3}}）$，记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知，x₁≠0，x₂≠0，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x₁，故y₁=-y₂，
且$y_1^2=y_2^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，
因此${k_{MA}}•{k_{MB}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{3}}}{x_1}•\frac{{{y_2}-\sqrt{3}}}{x_2}=-\frac{y_1^2-3}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，与已知不符，
因此直线AB的斜率存在，设直线AB：y=kx+m，
代入椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，①
由直线AB与曲线E有公共点A，B，则方程①有两个非零不等实根x₁，x₂，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}$，又${k_{AM}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{3}}}{x_1}=\frac{{k{x_1}+m-\sqrt{3}}}{x_1}$，${k_{MB}}=\frac{{{y_2}-\sqrt{3}}}{x_2}=\frac{{k{x_2}+m-\sqrt{3}}}{x_2}$，
由${k_{AM}}•{k_{BM}}=\frac{1}{4}$，
得$4（{k{x_1}+m-\sqrt{3}}）（{k{x_2}+m-\sqrt{3}}）={x_1}{x_2}$，
即$（{4{k^2}-1}）{x_1}{x_2}+4k（{m-\sqrt{3}}）（{{x_1}+{x_2}}）+4{（{m-\sqrt{3}}）^2}=0$，
∴$4（{{m^2}-3}）（{4{k^2}-1}）+4k（{m-\sqrt{3}}）（{-8km}）+4{（{m-\sqrt{3}}）^2}（{3+4{k^2}}）=0$，
化简得${m^2}-3\sqrt{3}m+6=0$，故$m=\sqrt{3}$或$m=2\sqrt{3}$，
结合x₁x₂≠0知$m=2\sqrt{3}$，即直线AB恒过定点$N（{0，2\sqrt{3}}）$．
（3）由△＞0且$m=2\sqrt{3}$得$k＜-\frac{3}{2}$或$k＞\frac{3}{2}$，
又${S_{△ABM}}=|{{S_{△ANM}}-{S_{△BNM}}}|=\frac{1}{2}|{MN}|•|{{x_2}-{x_1}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（{\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}}）}^2}-4•\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}}=\frac{{6\sqrt{4{k^2}-9}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{6}{{\sqrt{4{k^2}-9}+\frac{12}{{\sqrt{4{k^2}-9}}}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
当且仅当4k²-9=12，即$k=±\frac{{\sqrt{21}}}{2}$时，△ABM的面积最大，最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
△ABM的面积的最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．