Question

已知函数f（x）=x³-3x²+2x
（Ⅰ）在p₀处的切线平行于直线y=-x-1，求p₀点的坐标；
（Ⅱ）求过原点的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在P₀处的切线的斜率，由斜率等于-1求得P₀点的坐标；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）过切点P₀（x₀，y₀）的切线方程，代入原点坐标求得P₀的坐标，进一步求出切线的斜率，由点斜式得切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x²+2x，
得f′（x）=3x²-6x+2，
设P₀（x₀，y₀），
则f′(x0)=3x02-6x0+2．
∵f（x）在P₀处的切线平行于直线y=-x-1，
∴3x02-6x0+2=-1，
即(x0-1)2=0，x₀=1．
∴f（x₀）=f（1）=0．
即P₀点的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）过切点P₀（x₀，y₀）的切线方程为：
y-x03+3x02-2x0=(3x02-6x0+2)(x-x0)，
把（0，0）代入得：2x03-3x0=0．
解得x₀=0或x0=

3

2

．
当x₀=0时，斜率为2，切线方程为y=2x；
当x0=

3

2

时，切点为（

3

2

，-

3

8

），斜率为-

1

4

．
切线方程为y+

3

8

=-

1

4

(x-

3

2

)，整理得，y=-

1

4

x．
∴过原点的切线方程为y=2x，y=-

1

4

x．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键在于区分给出的点是否为切点，该题是中档题，属易错题．