Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₂为圆心，OF₂（O为椭圆中心）为半径作圆F₂，若它与椭圆的一个交点为M，且MF₁恰好为圆F₂的一条切线，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  3

  -1
• B、2-

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用圆的切线的性质可得F₁M⊥F₂M．再利用直角三角形的边角关系可得：|F₁M|=

3

c．利用椭圆的定义可得：c+

3

c=2a，即可解出．

解答： 解：∵以F₂为圆心，OF₂（O为椭圆中心）为半径作圆F₂，若它与椭圆的一个交点为M，且MF₁恰好为圆F₂的一条切线，
∴F₁M⊥F₂M．
∵|F2M|=

1

2

|F1F2|=c，
∴|F₁M|=

3

c．
∴c+

3

c=2a，
∴

c

a

=

3

-1．
∴椭圆的离心率为

3

-1．
故选：A．

点评：本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．