Question

（理科做）  设函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1）
（1）若a＞0，求函数f（x）的最小值；
（2）若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，求f （x）＞b恒成立的概率．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：不等式的解法及应用,概率与统计

分析：（1）变形化简，利用均值不等式求解f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a，
（2）于是f（x）＞b恒成立就转化为：（

a

+1）²＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，运用列举的方法求解事件个数，运用概率公式求解．

解答： （1）解：x＞1，a＞0，
f（x）=ax+

x-1+1

x-1

=ax+

1

x-1

+1
=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²
∴f（x）_min=（

a

+1）²
（2）则基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得：P（A）=

10

12

=

5

6

点评：本题考察了不等式的应用，古典概率的求解，难度不是很大，属于中档题，运用列举即可解决．