Question

某轮船航行过程中每小时的燃料费u与其速度v的立方成正比．已知当速度为10千米/小时，燃料费10元/小时，其他与速度无关的费用每小时160元．设每千米航程成本为y．
（1）试用速度v表示轮船每千米航程成本y；
（2）轮船的速度为多少时，每千米航程成本最低？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的最值及其几何意义,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）先设出函数关系式，代入速度与每小时燃料费的关系值求出比例系数即可；
（2）根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．

解答： 解：（1）易知u=kv³，由10=k×10³，得k=

1

100

．
于是，每小时的费用为

1

100

v3+160．而轮船航行1千米需用时

1

v

小时，所以每千米航程成本函数为：y=

1

v

(

1

100

v3+160)=

1

100

v2+

160

v

．
（2）求导得：y′=

1

50v2

(v3-8000)，令 y'=0，解得：v=20．
当0＜v＜20时，y'＜0；当v＞20时，y'＞0．
所以当v=20时y有最小值，即：v=20时每千米航程成本最低．

点评：本题是实际应用题，考查学生建立函数模型的能力，以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题，是高考的常考知识点．