Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

（1）求角B的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx  （ω＜0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）通过向量平行，推出关系式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简通过三角形内角，即可求出B的大小．
（2）利用（1）B的值，以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期求出ω，通过正弦函数的单调区间求解即可．

解答： 解：（1）由m∥n得，bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB．
又B+C=π-A，∴sinA=2sinAcosB．------------（2分）
又sinA≠0，∴cosB=

1

2

，而B∈（0，π），∴B=

π

3

．------------（4分）
（2）由题知f（x）=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx=

3

sin（ωx+

π

6

），-----（6分）
由已知得

2π

|ω|

=π，∵ω＜0，∴ω=-2，f（x）=-

3

sin（2x-

π

6

），------------（8分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

， k∈Z
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

， k∈Z
故，函数f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]， k∈Z；
单调递减区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]， k∈Z------------（12分）

点评：本题以向量共线为依托，考查两角和与差的三角函数，三角函数的正确单调区间的求法，考查计算能力．