Question

当0＜a＜2时，直线l₁：ax-2y-2a+4=0与l₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a应取何值？

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：联立方程组可得交点，由截距的意义可得直线与坐标轴的交点，可得面积，由二次函数的最值可得．

解答： 解：联立方程组

ax-2y-2a+4=0 2x+a2y-2a2-4=0

，
解方程组可得

x=2 y=2

，即直线l₁和l₂的交点为（2，2），
对l₁：ax-2y-2a+4=0，分别令x=0，y=0可得x=2-

4

a

，y=2-a，
同理对l₂：2x+a²y-2a²-4=0，可得x=a²+2，y=2+

4

a2

，
∴四边形S=

1

2

（2-a）×2+

1

2

（a²+2）×2
=a²-a+4=(a-

1

2

)2+

15

4

≥

15

4

，
∴四边形面积有最小值

15

4

，此时a=

1

2

点评：本题考查两直线的交点坐标的求法和四边形面积的求法，涉及二次函数的最值，属中档题．