Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=

1

2

x²-2lnx+x，f（1）=

1

2

，
∵f′（x）=x-

2

x

，
∴切线的斜率k=f′（1）=-1，
∴切线方程为：y-

1

2

=-（x-1），
即2x+2y-3=0；
（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

ax2-2

x

（x＞0），
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为：（0，+∞），
a＞0时，f（x）在（0，

2 a

）递减，在（

2 a

，+∞）递增．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．