Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得△F₁F₂P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

• A、（0，

  2

  2

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ]
• C、（

  2

  2

  ，1）
• D、[

  2

  2

  ，1）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直，可得|OP|=c＞b，从而可求椭圆离心率e的取值范围．

解答： 解：由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直，
∴|OP|=c＞b，即c²＞a²-c²，
∴a＜

2

c，
∵e=

c

a

，0＜e＜1，
∴

2

2

＜e＜1
故选：C．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题，转化为椭圆上存在四个点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直是关键．