Question

设M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…t-1，t∈N^*），并记M（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂．对于给定的x₁=（li_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，构造无穷数列{x_h}如下：x₂=（li₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（li₁i₀i_t-1…i₃i₂）₂，x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂
（1）若x₁=27，则x₄=

 

 （用数字作答）；
（2）给定一个正整数m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^m+1，则满足x_n=x₁（n∈N^*），且n≠1）的n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：新定义,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先将x₁=27分成2⁴+2³+2¹+1从而得到1i_t-1i_t-2…i₁i的值，然后根据x₄=（li₂i₁i_t-1…i₃）₂进行求解即可；
（2）根据x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1则x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，从而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，依此类推x_2m+3=x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂，从而得到结论．

解答： 解：（1）∵x₁=27=2⁴+2³+2¹+1，
∴x₁=2⁴+1×2³+0×2²+1×2+1，这里i₀=1，i₁=1，i₂=0，i₃=1；
∴x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1i_t-2…i₄i₃）₂=2^t+i₂×2^t-1+i₁×2^t-2+i_t-1×2^t-3+…+i₄×2+i₃=2⁴+0×2³+1×2²+1×2+1=23；
（2）∵x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，
∴x₁=（1i_2m+1i_2m…i₁i）₂而x₂=（1ii_2m+1i_2m…i₁）₂，x₃=（1i₁ii_2m+1i_2m…i₂）₂，
当i跑到最后时移动了2m+2次，此时x_2m+3=x₁，
满足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值为2m+3，
故答案为：23；2m+3．

点评：本题考查了数列的综合运用，着重考查二进制的知识应用，解题时，关键是弄清题意，根据新的定义求解，结合所学的知识，细心作答，属于难题．